Question

20．已知函數(shù)f（x）對?x∈R都有f（x）=f（4-x），且其導函數(shù)f′（x）滿足當x≠2時，（x-2）f′（x）＞0，則當2＜a＜4時，有（　�。�

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
• C． f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• D． f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數(shù)f（x）關于直線x=2對稱，由（x-2）f′（x）＞0，可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關于直線x=2對稱；
又當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當x＜2時，f（x）在（-∞，2）單調(diào)遞減；
f（x）的最小值為f（2）
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
∴f（log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故選：D．

點評 本題綜合考查了導數(shù)的運用，函數(shù)的對稱性，單調(diào)性的運用，綜合運用對數(shù)解決問題的能力，屬于中檔題．