【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,并且當(dāng)x>0時(shí)f(x)>1.
(1)求證:函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù);
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a﹣5)<2.
【答案】
(1)證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則x2﹣x1>0,則f(x2﹣x1)>1
∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1成立
∴令m=n=0,有f(0+0)=f(0)+f(0)﹣1,即f(0)=1,
再令m=x,n=﹣x,則有f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)﹣1,即f(0)=f(x)+f(﹣x)﹣1,
∴f(﹣x)=2﹣f(x),
∴f(﹣x1)=2﹣f(x1)
而f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)﹣1=f(x2)+2﹣f(x1)﹣1>1,
即f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)
(2)解:∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)﹣1=f(1)+f(1)+f(1)﹣2=3f(1)﹣2=4
∴f(1)=2.
∴f(a2+a﹣5)<2,即為f(a2+a﹣5)<f(1),
由(1)知,函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),a2+a﹣5<1,即a2+a﹣6<0,
∴﹣3<a<2
∴不等式f(a2+a﹣5)<2的解集是{a|﹣3<a<2}
【解析】(1)證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則x2﹣x1>0,則f(x2﹣x1)>1,函數(shù)f(x)對(duì)于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1成立,令m=n=0,有f(0)=1,再令m=x,n=﹣x,結(jié)合條件得到f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),即可求得結(jié)果;(2)f(a2+a﹣5)<2,即為f(a2+a﹣5)<f(1),由(1)知,函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),a2+a﹣5<1,解此不等式即得.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班周四上午有4節(jié)課,下午有2節(jié)課,安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育、音樂6門課,若要求體育不排在上午第一、二節(jié),并且體育課與音樂課不相鄰,(上午第四節(jié)與下午第一節(jié)理解為相鄰),則不同的排法總數(shù)為( )
A.312
B.288
C.480
D.456
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.
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【題目】2020年4月16日,某州所有61個(gè)社區(qū)都有新冠病毒感染確診病例,第二天該州新增這種病例183例.這兩天該州以社區(qū)為單位的這種病例數(shù)的中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù),方差和極差5個(gè)特征數(shù)中,一定變化的是______(寫出所有的結(jié)果)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是__________.
①兩條直線沒有公共點(diǎn),則這兩條直線平行或互為異面直線;
②如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么它們重合;
③一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn),則這條直線和這個(gè)平面平行;
④兩條直線都和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行;
⑤過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個(gè)平面與另一條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),若對(duì)于使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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