Question

17．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，面積為10$\sqrt{3}$cm²，周長(zhǎng)為20cm，求△ABC的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列求出角B的值，再根據(jù)△ABC的面積與周長(zhǎng)，利用余弦定理，即可求出△ABC的三邊長(zhǎng)．

解答 解：△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，
所以$\left\{\begin{array}{l}{A+B+C=π}\\{A+C=2B}\end{array}\right.$，
解得B=$\frac{π}{3}$；
又△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=10$\sqrt{3}$，
所以ac=40①；
又△ABC的周長(zhǎng)為l=a+b+c=20②，
根據(jù)余弦定理得
b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac=（20-b）²-3×40，
解得b=7，
代入②中，聯(lián)立①，
解得a=5，c=8或a=8，c=5；
所以△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5cm、7cm、8cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的周長(zhǎng)與面積的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．