Question

17．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點到兩焦點間的距離之和為2$\sqrt{2}$，直線4x-3y+3=0被以橢圓C的短軸為直徑的圓M截得的弦長為$\frac{8}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個不同的點A，B，關于直線l：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）對稱．
（i）求k的取值范圍；
（ii）求證：△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{^{2}-bvrtxv7^{2}}$，即$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$，解得：b=1，即可求得橢圓的標準方程；
（2）（i）由題意可知：設直線y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得中點P坐標，代入直線方程l方程，由△＞0，即可求得k的取值范圍；
由三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}}$，由基本不等式的性質，即可求得三角形面積的最大值，則橢圓的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求證：△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點到兩焦點間的距離之和為2$\sqrt{2}$，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，
由O到直線4x-3y+3=0距離d=$\frac{丨3丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，
直線4x-3y+3=0被以橢圓C的短軸為直徑的圓M截得的弦長為$\frac{8}{5}$，
則$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{^{2}-nrddzh5^{2}}$，即$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$，解得：b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）（i）由題意可知：直線l：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）對稱，則設直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+k²）x²+2kmx+m²-2=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-2}{2+{k}^{2}}$，
根據題意：△=4k²m²-4（2+k²）（m²-2）=8（k²-m²+2）＞0，
設線段AB的中點P（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{km}{2+{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{2m}{2+{k}^{2}}$，
∵點P在直線y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）上，$\frac{2m}{2+{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{km}{2+{k}^{2}}$+$\frac{1}{2}$），
∴m=-$\frac{2+{k}^{2}}{2k}$，代入△＞0，可得3k⁴+4k²-4＞0，
解得：k²＞$\frac{2}{3}$，則k＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
直線AB與y軸交點橫坐標為m，
（ii）證明：△AOB面積S=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$•丨m丨•$\frac{\sqrt{8（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}}{{k}^{2}+2}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}}$，
由基本不等式可得：m²（k²-m²+2）≤（$\frac{{m}^{2}+{k}^{2}-{m}^{2}+2}{2}$）²=$\frac{（{k}^{2}+2）^{2}}{4}$，
∴△AOB面積S≤$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當且僅當m²=k²-m²+2，即2m²=k²+2，
又∵m=-$\frac{2+{k}^{2}}{2k}$，解得：k=±$\sqrt{2}$，
當且僅當k=±$\sqrt{2}$時，△AOB面積取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由橢圓C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，三角形面積公式及基本不等式的性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．