分析 過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面必與面ADA1,BC1C相交,且交線平行,據(jù)此,當(dāng)Q為C1C中點(diǎn)時(shí),截面與面ADD1交與AD1,為等腰梯形,據(jù)此可以對(duì)①③進(jìn)行判斷;
連接AP,延長(zhǎng)交DC于一點(diǎn)M,再連接MQ并延長(zhǎng)其交D1D于N,連接AN,可見(jiàn),截面此時(shí)不會(huì)與面ABB1相交,據(jù)此判斷②;
當(dāng)CQ=1時(shí),截面為底為$\sqrt{2}$,腰長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形,由此可求其面積,判斷④;由$CQ=\frac{3}{4}$作出滿足條件的圖形,由線面位置關(guān)系找出截面,進(jìn)一步求得C1R判斷⑤.
解答 解:連接AP并延長(zhǎng)交DC于M,再連接MQ.
當(dāng)0<CQ<$\frac{1}{2}$時(shí),MQ的延長(zhǎng)線交線段D1D與點(diǎn)N,且N在D1與D之間,連接AN,則截面為四邊形APQN;
特別的當(dāng)Q為中點(diǎn)即CQ=$\frac{1}{2}$時(shí),N點(diǎn)與D1重合,此時(shí)截面四邊形APQN為等腰梯形,故①,③正確;
當(dāng)$\frac{3}{4}$<CQ<1時(shí),MQ與DD1延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)N,再連接AN,與A1D1交于一點(diǎn),此時(shí)截面是五邊形,故②錯(cuò)誤;
當(dāng)CQ=1時(shí),MQ交DD1延長(zhǎng)線于N點(diǎn),且DD1=D1N=1,連接AN交A1D1于的中點(diǎn)位置,此時(shí),截面四邊形是邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的菱形,其對(duì)角線長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)$\sqrt{3}$,另一條對(duì)角線長(zhǎng)為面對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{2}$,所以s=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,故④正確;
當(dāng)CQ=$\frac{3}{4}$時(shí),如圖,延長(zhǎng)DD1至N,使D1N=$\frac{1}{2}$,連接AN交A1D1于S,連接NQ交C1D1于R,連接SR,
可證AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得C1R=$\frac{1}{3}$,故⑤正確.
∴正確命題的序號(hào)是①③④⑤.
故答案為:①③④⑤.
點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了截面的性質(zhì),關(guān)鍵是利用面面平行、面面相交的性質(zhì)確定截面的頂點(diǎn),是中檔題.
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A. | B. | C. | D. |
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A. | -15 | B. | -3 | C. | 3 | D. | 12 |
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A. | 3 | B. | -3 | C. | ±3 | D. | $±\sqrt{3}$ |
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