Question

11．己知雙曲線C的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直線l與雙曲線C的左支有兩個交點，且點M（0，1）到l的距離小于1，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），利用雙曲線C的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，可得c=$\sqrt{3}$，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，即可求雙曲線C的方程；
（2）利用過點F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直線l與雙曲線C的左支有兩個交點，得出k＞-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．點M（0，1）到l的距離小于1，得出$\frac{|-1+\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，求出k的范圍，即可求直線l的傾斜角的范圍．

解答 解：（1）由題意設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∵雙曲線C的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，
∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），
∵過點F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直線l與雙曲線C的左支有兩個交點，
∴k＞-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．
∵點M（0，1）到l的距離小于1，
∴$\frac{|-1+\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴0＜k$＜\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{2}＜k＜\sqrt{3}$，
∴直線l的傾斜角的范圍是（arctan$\sqrt{2}$，$\frac{π}{3}$）．

點評 本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查直線的傾斜角與斜率，屬于中檔題．