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5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是BC,A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:DE∥平面ACC1A1;
(2)設(shè)M為AB上一點(diǎn),且AM=14AB,若直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均相等,求直線DE與直線A1M所成角的正切值.

分析 (1)取AB中點(diǎn)N,連結(jié)EN,DN,則DN∥AC,從而DN∥平面ACC1A1,再求出EN∥平面ACC1A1,從而平面DEN∥平面ACC1A1,由此能證明DE∥平面ACC1A1
(2)作DP⊥AB于P,推導(dǎo)出∠DEP是直線DE與直線A1M所成角,由此能求出直線DE與直線A1M所成角的正切值.

解答 證明:(1)取AB中點(diǎn)N,連結(jié)EN,DN,
∵在△ABC中,N為AB中點(diǎn),D為BC中點(diǎn),
∴DN∥AC,
∵DN?平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,
∴DN∥平面ACC1A1,
∵在矩形ABB1A1中,N為AB中點(diǎn),E為A1B1中點(diǎn),
∴EN∥平面ACC1A1,
又DN?平面DEN,EN?平面DEN,
DN∩EN=N,∴平面DEN∥平面ACC1A1
∵DE?平面DEN,∴DE∥平面ACC1A1
解:(2)作DP⊥AB于P,
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均相等,D為BC的中點(diǎn),
∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱長相等,D為BC的中點(diǎn),
∴DP⊥平面ABB1A1,且PB=14AB,又AM=14AB,
∴MP=12AB,
∵A1E=EP,A1M=EP,
∴∠DEP是直線DE與直線A1M所成角,
∴由DP⊥平面ABB1A1,EP?平面ABB1A1,得DP⊥EP,
設(shè)直線三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為a,
則在Rt△DPE中,DP=34a,EP=A1M=174a,
∴tan∠DEP=DPEP=5117
∴直線DE與直線A1M所成角的正切值為5117

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查線面角的正切值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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