Question

已知函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|+|x-

1

x

|，若F（x）=f²（x）+a•f（x）+b有6個不同的零點，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用分段函數(shù)求出f（x）的表達式，然后作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象利用換元法將條件進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|+|x-

1

x

|=

2x，x≥1 2 x ，0＜x＜1 - 2 x ，-1＜x＜0 -2x，x≤-1

，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
則由圖象可知，當(dāng)t＞2時，方程t=f（x）有4個不同的根，
當(dāng)t=2時，方程t=f（x）有2個不同的根，
當(dāng)t＜2時，方程t=f（x）有0個不同的根，
由F（x）=f²（x）+a•f（x）+b=0等價為t²+at+b=0，
若F（x）=f²（x）+a•f（x）+b有6個不同的零點，
則方程t²+at+b=0有兩個不同的根，
其中t₁=2，t₂＞2，
則-a=t₁+t₂＞4，
∴a＜-4．
故答案為：a＜-4．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用條件求出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．