Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②過(guò)定圓C上動(dòng)點(diǎn)A作水平直徑所在直線的垂線AB，垂足為點(diǎn)B，若

AM

=

1

2

AB

，則點(diǎn)M的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)雙曲線的定義是到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)之間距離）的點(diǎn)的軌跡．焦點(diǎn)在x軸的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，半焦距C，分別是c²=a²+b²，c²=a²-b²，離心率e 范圍分別是0＜e＜1，e＞1．

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，有絕對(duì)值，且k的范圍是k＜|AB|，∴①不正確；
∵過(guò)定圓C上動(dòng)點(diǎn)A作水平直徑所在直線的垂線AB，垂足為點(diǎn)B，若

AM

=

1

2

AB

，∴M為弦AB的中點(diǎn)，不妨設(shè)定圓為x²+y²=R²，設(shè)M（x，y），則動(dòng)點(diǎn)A（x，2y），動(dòng)點(diǎn)A代入圓的方程，則x²+4y²=R²
得M的軌跡方程為：

x2

R2

+

y2

R2 4

=1，軌跡方程是橢圓，∴②正確；
∵2x²-5x+2=0的兩根是2，

1

2

，橢圓的離心率范圍是（0，1），雙曲線的離心率范圍是（1，+∞）∴③正確．
∵④中雙曲線的焦點(diǎn)是（±4，0），橢圓的焦點(diǎn)（±4，0），∴④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線及雙曲線的定義，考查了命題的真假的判斷，要說(shuō)明一個(gè)命題為真，需要嚴(yán)格的證明，要說(shuō)明命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可，此題屬中檔題．