Question

13．已知向量$\overrightarrow m=（2coswx，-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}sinwx+coswx，2）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+1$，若函數(shù)f（x）圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若△ABC滿足f（A）=1，a=3，BC邊上的中線長為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算和三角恒等變換化f（x）為正弦型函數(shù)；根據(jù)對稱軸求出周期和ω，寫出解析式，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=1求出A的值，再由a=|$\overrightarrow{BC}$|=3，BC邊上的中線長得|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=6；求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$的值，從而求出|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|的值，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（2coswx，-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}sinwx+coswx，2）$，
則函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+1$
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx-1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由函數(shù)f（x）圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ$≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）△ABC滿足f（A）=1，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
由0＜A＜π，得$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$；
由a=3，得|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=a=3①，
由BC邊上的中線長為3，得|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=6②；
由①②組成方程組，解得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{27}{4}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{27}{2}$，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了解三角形和平面向量的數(shù)量積運算問題，是綜合性題目．