Question

16．已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R有f（x）+f（y）=2+f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給與證明；
（2）若f（3）=5，解不等式f（a²-2a-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值方法求出f（0）=2，和換元思想，得出f（-a）=4-f（a），利用定義法判定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)定義得出f（1）=3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：（Ⅰ）對任意x，y∈R有f（x）+f（y）=2+f（x+y），
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=2+f（0），
∴f（0）=2，
令x=a，y=-a，
∴f（a）+f（-a）=4，
∴f（-a）=4-f（a），
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2
=f（x₂）+4-f（x₁）-2＞2，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
（2）f（1）+f（1）=2+f（2），f（1）+f（2）=2+f（3），
∴f（1）=3，
∵f（a²-2a-2）＜3，
∴f（a²-2a-2）＜f（1），
∴a²-2a-2＜1，
∴-1＜a＜3．

點(diǎn)評 考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的證明和利用單調(diào)性解題．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．