Question

7．已知函數(shù)$f（x）=tan（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）設(shè)β是銳角，且$f（β）=2sin（β+\frac{π}{4}）$，求β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的定義域；
（Ⅱ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得$\frac{{sin（β+\frac{π}{4}）}}{{cos（β+\frac{π}{4}）}}=2sin（β+\frac{π}{4}）$，利用$sin（β+\frac{π}{4}）＞0$，化簡可得$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍即可得解β的值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由$x+\frac{π}{4}≠kπ+\frac{π}{2}$，得$x≠kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z…（3分）
所以 函數(shù)f（x）的定義域是$\{x|x≠kπ+\frac{π}{4}，k∈{Z}\}$…（4分）
（Ⅱ）依題意，得$tan（β+\frac{π}{4}）=2sin（β+\frac{π}{4}）$…（5分）
所以$\frac{{sin（β+\frac{π}{4}）}}{{cos（β+\frac{π}{4}）}}=2sin（β+\frac{π}{4}）$．①…（7分）
因?yàn)棣率卿J角，所以 $\frac{π}{4}\;＜β+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，…（8分）
所以$sin（β+\frac{π}{4}）＞0$，…（9分）
①式化簡為$cos（β+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$…（10分）
所以 $β+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$，…（12分）
所以$β=\frac{π}{12}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．