Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，若對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜x₂²-x₁²成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可解決，
（Ⅱ）根據(jù)題意可得f（x₂）-x₂²）＜f（x₁）-x₁²，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=x+m+$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$，
當(dāng)m≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜0時(shí)，方程x²+mx+m=0的判別式為△=m²-4m＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，
∴當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在（$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}-4m}}{2}$）上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）當(dāng)m＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵[1，2]?（0，+∞），
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
由題意可得f（x₂）-f（x₁）＜x₂²-x₁²，
整理可得f（x₂）-x₂²）＜f（x₁）-x₁²，
令g（x）=f（x）-x²=-$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+mlnx，
則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴g′（x）=-x+m+$\frac{m}{x}$=$\frac{-{x}^{2}+mx+m}{x}$≤0恒成立，
∴m≤$\frac{{x}^{2}}{1+x}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+x}$，
則h′（x）=$\frac{2x（1+x）-{x}^{2}}{（1+x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{（1+x）^{2}}$＞0，
∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=$\frac{1}{2}$，
∴m≤$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和和最值的關(guān)系，考查了的學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力和分類討論的能力，屬于中檔題