Question

19．已知$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值，并求出x為何值時，f（x）取得最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)在周期公式和性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；即可求解在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$，
根據(jù)正弦三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ$時，
即x=$4kπ+\frac{π}{3}$，函數(shù)f（x）取得最大值為1．
可得f（x）取得最大值時x的集合為{x|x=$4kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z}
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ，k∈Z$，
設A=[-2π，2π]
$B=[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]k∈Z$
所以，$A∩B=[-\frac{5π}{3}，\frac{π}{3}]$
即函數(shù)f（x）在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{5π}{3}，\frac{π}{3}]$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用．屬于基礎題．