Question

7．為研究男女同學(xué)空間想象能力的差異，孫老師從高一年級(jí)隨機(jī)選取了20名男生、20名女生，進(jìn)行空間圖形識(shí)別測(cè)試，得到成績(jī)莖葉圖如下，假定成績(jī)大于等于80分的同學(xué)為“空間想象能力突出”，低于80分的同學(xué)為“空間想象能力正�！保�
（1）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“空間想象能力突出”與性別有關(guān)；

	空間想象能力突出	空間想象能力正常	合計(jì)
男生
女生
合計(jì)

（2）從“空間想象能力突出”的同學(xué)中隨機(jī)選取男生2名、女生2名，記其中成績(jī)超過(guò)90分的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
下面公式及臨界值表僅供參考：${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（X2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）2×2列聯(lián)表如下，再利用X²計(jì)算公式可得結(jié)論．
（2）利用互斥事件、獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式．

解答 解：（1）2×2列聯(lián)表如下：

	空間想象能力突出	空間想象能力正常	合計(jì)
男生	7	13	20
女生	4	16	20
合計(jì)	11	29	40

由公式${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，計(jì)算得X²≈1.129，
因?yàn)閄²＜2.706，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“空間想象能力突出”與性別有關(guān)；
（2）$P（ξ=0）=\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{21}$，$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{7}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×$$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{19}{42}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{4}{21}$，$P（ξ=4）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{42}$，
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{19}{42}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{1}{42}$

數(shù)學(xué)期望是：$Eξ=0×\frac{1}{21}+1×\frac{2}{7}+2×\frac{19}{42}+$$3×\frac{4}{21}+4×\frac{1}{42}=\frac{13}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)原理、互斥事件、獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．