Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2

3

an+1+

1

3

an，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：采用特征方程法求解，先求特征方程的解，再設(shè)a_n=pt₁ⁿ+qt₂ⁿ，根據(jù)a₁=1，a₂=2，即可求a_n．

解答： 解：采用特征方程法求解．
∵a_n+2=

2

3

an+1+

1

3

an，
∴特征方程：t²-

2

3

t-

1

3

=0
解得：t₁=1，t₂=-

1

3

設(shè)a_n=pt₁ⁿ+qt₂ⁿ，則
∵a₁=1，a₂=2，
∴a₁=p-

1

3

q=1，a₂=p+

1

9

q=2
解得：p=

7

4

，q=

9

4

，
故有a_n=

7

4

+

9

4

•(-

1

3

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查特征方程法，正確運(yùn)用特征方程法是關(guān)鍵，此類遞推式中，此方法可以推廣