Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（sin2x，cos2x），\overrightarrow n=（cos\frac{π}{4}，sin\frac{π}{4}）$，函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[-π，π]上零點．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的零點求得函數(shù)g（x）在[-π，π]上零點．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{2}（sin2xcos\frac{π}{4}+cos2xsin\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位，
得到圖象的解析式為y=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
在將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到g（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
由x+$\frac{π}{6}$=kπ，得x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
故當x∈[-π，π]時，函數(shù)g（x）的零點為-$\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點，屬于中檔題．