【題目】如圖正方體的棱長為,、,分別為、、的中點.則下列命題:①直線與平面平行;②直線與直線垂直;③平面截正方體所得的截面面積為;④點與點到平面的距離相等;⑤平面截正方體所得兩個幾何體的體積比為.其中正確命題的序號為_______.

【答案】①③⑤

【解析】

連結(jié),分別為、的中點,,所以四點共面,截面圖形為等腰梯形,然后對各個命題進行逐一判斷.

連結(jié),、分別為、的中點.

,,所以=.

所以截面四邊形形為等腰梯形.

對①, 、,分別為的中點,

所以,且=,則四邊形為平行四邊形,

所以,所以∥平面,故①正確.

對②, ,在中,,

顯然不垂直,則直線與直線不垂直,故②不正確.

對③, 平面截正方體所得的截面為四邊形,

又四邊形為等腰梯形,其中,,

梯形的高為,

則其面積為.故③正確.

對④,點的中點,所以到面的距離相等.

分別為、的中點,延長的延長線于點,

即直線交平面于點,的中點,如圖,

分別過作平面的垂線,垂足分為

所以分別為點到面的距離,則三點共線,

根據(jù)三角形的相似可得:,所以到面的距離不相等,

則點與點到平面的距離不相等,故④不正確.

對⑤, 由條件可知多面體為棱臺,

其體積為,

平面截正方體所得兩個幾何體的體積比為,故⑤正確.

故答案為:①③⑤.

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9

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40

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6

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