Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{a}{2}$x²+bx-1．
（I）討論導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)f（1）=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求兩次導(dǎo)，再分類討論即判斷f′（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，
（Ⅱ）先表示出b，得到f（x）=e^x+$\frac{a}{2}$x²+（-e-$\frac{a}{2}$+1）x-1，根據(jù)（Ⅰ）的單調(diào)性，分別判斷即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+ax+b，
∴f″（x）=e^x+a，
①當(dāng)a≥0時(shí)，e^x+a＞0恒成立，
∴f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
②當(dāng)a≤-e時(shí)，由于x∈（0，1），則e^x∈（1，e），
∴f″（x）=e^x+a＜0，
∴f′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
③當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，
∴f″（x）=e^x+a＞0，
∴f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
④當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，
令f″（x）＞0，解得x＞ln（-a），
即x∈（ln（-a），1），f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
即x∈（0，ln（-a）），f′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上所述：當(dāng)a≥-1時(shí)，f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)a≤-e時(shí)，f′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，f′（x）在（ln（-a），1）單調(diào)遞增函數(shù)，
f′（x）在（0，ln（-a））單調(diào)遞減函數(shù)，
（Ⅱ）由f（1）=0，可得e+$\frac{a}{2}$+b-1=0，
∴b=-e-$\frac{a}{2}$+1，
∴f（x）=e^x+$\frac{a}{2}$x²+（-e-$\frac{a}{2}$+1）x-1，
∴f′（x）=e^x+ax+1-e-$\frac{a}{2}$，
由（Ⅰ）可知，①當(dāng)a≥-1時(shí)，f′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）＞f′（0）=2-e-$\frac{a}{2}$＜0
f′（x）＜f′（1）=1+$\frac{a}{2}$＞0，
令f′（x₀）=0，即e^x₀+ax₀+1-e-$\frac{a}{2}$，
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（x₀），
又f（0）=-1＜0，f（1）=0，
∴x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)，
∴當(dāng)a≥-1，函數(shù)在（0，1）上無(wú)零點(diǎn)，
②a≤-e時(shí)，f′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
若函數(shù)f（x）在（0，1）上有零點(diǎn)，
又f（0）=-1＜0，f（1）=0，
∴f′（0）=-1＞0，f′（1）＜0，
令f′（x₀）=0，即e^x₀+ax₀+1-e-$\frac{a}{2}$=0，
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
只需要f′（x₀）＞0，在（0，1）上有解即可，
f（x₀）=e^x₀+$\frac{a}{2}$x₀²+（-e-$\frac{a}{2}$+1）x₀-1=-ax₀-1+e+$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$x₀²+（-e-$\frac{a}{2}$+1）x₀-1=$\frac{a}{2}$x₀²+（-e-$\frac{3}{2}$+1）x₀+e+$\frac{a}{2}$-2＞0在（0，1）有解即可，
∵f（0）＜0，f（1）＞0，△＞0，對(duì)稱軸在（0，1）之間，
∴f（x₀）＞0在（0，1）有解，
③當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，也不能滿足，（同（Ⅱ）中的①），
綜上所述a的取值范圍為（-∞，-e]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵時(shí)分類，屬于難題．