Question

3．已知函數(shù)$f（x）=（2-m）lnx+\frac{1}{x}+2mx$．
（1）當(dāng)f'（1）=0時，求實(shí)數(shù)的m值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由f'（1）=0，求得的值，利用點(diǎn)斜式方程，即可求得切線方程；
（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論m的取值范圍，分別求得f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)$f'（x）=\frac{{2m{x^2}+（2-m）x-1}}{x^2}=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}$，
由f'（1）=0，解得m=-1
從而f（1）=-1，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-1．　　（4分）
（2）由$f'（x）=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}（x＞0）$，
當(dāng)m≥0時，函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）
當(dāng)m＜0時，由$f'（x）=\frac{（mx+1）（2x-1）}{x^2}=0$，得$x=-\frac{1}{m}$，或$x=\frac{1}{2}$，
當(dāng)m＜-2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，-$\frac{1}{m}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）增區(qū)間為（-$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)m=-2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間．
當(dāng)-2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{m}$，+∞），增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m}$）（12分）
綜上可知：當(dāng)m≥0時，函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）；
當(dāng)m＜-2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，-$\frac{1}{m}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）增區(qū)間為（-$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)m=-2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間；
當(dāng)-2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{m}$，+∞），增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，屬于中檔題．