Question

17．已知f（x）=$\frac{1}{1+x}$，各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，則a₁₈₀₀+a₁₅的值是$\frac{4+17\sqrt{5}}{34}$．．

Answer 1

分析 題中給出了數(shù)列隔項遞推公式，給出兩個條件，一個用來解決偶數(shù)項，一個用來解決奇數(shù)項，即可得出．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1+x}$，各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），
∴a₁=1，a₃=$\frac{1}{2}$，a₅=$\frac{2}{3}$，a₇=$\frac{3}{5}$，…，a₁₅=$\frac{21}{34}$．
∵a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，
∴a₂₀₁₀=$\frac{1}{1+{a}_{2010}}$，∴a₂₀₁₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負值舍去），
由a₂₀₁₀=$\frac{1}{1+{a}_{2008}}$，得a₂₀₀₈=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，…，a₁₈₀₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴a₁₈₀₀+a₁₅=$\frac{4+17\sqrt{5}}{34}$．
故答案為：$\frac{4+17\sqrt{5}}{34}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．