Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）在（0，a]的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞增，f（x）的最大值是f（a）=lna-a²+a+2；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，
則f（x）在x=1處取得極大值，也即該函數(shù)在（0，a]上的最大值，此時(shí)f（x）的最大值是f（1）=2；
∴f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{lna{-a}^{2}+a+2，0＜a≤1}\\{2，a＞1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．