Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≤g（x）；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≥$\frac{1}{2}$g（x₀），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-1時(shí)，可由f（x）≤g（x）得到|x+1|≤2|x|-1，討論x取值，去絕對(duì)值號(hào)即可得到三個(gè)不等式組，解不等式組并求并集即可得出原不等式的解集；
（2）根據(jù)條件便可得到：存在x₀∈R，使得$\frac{a}{2}≤|{x}_{0}+1|-|{x}_{0}|$，可設(shè)h（x）=|x+1|-|x|，去絕對(duì)值號(hào)即可求出h（x）的最大值為1，從而得出$\frac{a}{2}≤1$，這樣即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|-1；
從而$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-1≤-2x-1}\end{array}\right.$，即x≤-1；
或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x≤0}\\{x+1≤-2x-1}\end{array}\right.$，即$-1＜x≤-\frac{2}{3}$；
或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+1≤2x-1}\end{array}\right.$，即x≥2；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為$\{x|x≤-\frac{2}{3}，或x≥2\}$；
（2）存在x₀∈R，使得$f（{x}_{0}）≥\frac{1}{2}g（{x}_{0}）$，即存在x₀∈R，使得$|{x}_{0}+1|≥|{x}_{0}|+\frac{a}{2}$；
即存在x₀∈R，使得$\frac{a}{2}≤|{x}_{0}+1|-|{x}_{0}|$；
設(shè)$h（x）=|x+1|-|x|=\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤-1}\\{2x+1}&{-1＜x≤0}\\{1}&{x＞0}\end{array}\right.$，則h（x）的最大值為1；
∴$\frac{a}{2}≤1$；
即a≤2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及分段函數(shù)最值的求法．