Question

9．已知點M（1，m）（m＞1），若點N（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤mx\\ x+y≤1\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O為
坐標原點）的最大值為2，則m=$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的數量積化簡表達式，得到目標函數，畫出可行域，利用最優(yōu)解求解即可．

解答 解：$1+\sqrt{2}$$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=x+my$，令x+my=z，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤mx\\ x+y≤1\end{array}\right.$表示的可行域，由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$
解得A（$\frac{1}{1+m}$，$\frac{m}{1+m}$），
當m≥0時，目標函數在A處取得最大值2．
分析知當$x=\frac{1}{1+m}，y=\frac{m}{1+m}$時，z_max=2．
所以$\frac{1}{m+1}+m•\frac{m}{m+1}=2$，解之得$m=1+\sqrt{2}$或$m=1-\sqrt{2}$（舍去），
所以$m=1+\sqrt{2}$．
故答案為：$1+\sqrt{2}$．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查目標函數的最值的求法，值域可行域以及目標函數的最優(yōu)解是解題的關鍵．