1.已知函數(shù)f(x)=k(x+1)2-x,g(x)=2x-k•2-x(k∈R且k≠0)
(1)若f(1)=23,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域;
(2)當(dāng)-3<g(1)<3時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值大于h(x)=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$在(0,+∞]上的最小值,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)f(1)=23,求出k的值,求出g(x)的解析式,從而求出g(x)在[0,1]的值域即可;
(2)分別求出f(x)和g(x)的最小值,得到關(guān)于k的不等式,求出k的范圍即可.

解答 解:(1)∵f(1)=23,∴k=6,∴g(x)=2x-6•2-x,
當(dāng)x∈[0,1]時,g(x)為增函數(shù),
則g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域為[-5,-1].
(2)令t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$,∵x>0,∴t≥2,
∴h(t)=t+$\frac{2}{t}$(t≥2),又y=t+$\frac{2}{t}$在[2,+∞)上遞增,
∴當(dāng)t=2時,h(x)min=3.
∵-3<g(1)<3,∴-2<k<10,又k≠0,
∴-2<k<0或0<k<10,
f(x)=kx2+(2k-1)x+k=k${(x+\frac{2k-1}{2k})}^{2}$+$\frac{4k-1}{4k}$,
對稱軸方程為x=$\frac{1}{2k}$-1,
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤k<10時,$\frac{1}{2k}$-1≤0,∴f(x)在[0,2]上遞減,
f(x)min=f(0)=k>3,又$\frac{1}{2}$≤k<10,∴3<k<10.
當(dāng)0<k≤$\frac{1}{6}$時,$\frac{1}{2k}$-1≥2,∴f(x)在[0,2]上遞減,
f(x)min=f(2)=9k-2>3,∴k>$\frac{5}{9}$,又0<k≤$\frac{1}{6}$,∴無解.
當(dāng)$\frac{1}{6}$<k<$\frac{1}{2}$時,0<$\frac{1}{2k}$-1<2,
∴f(x)min=$\frac{4k-1}{4k}$>3,∴-$\frac{1}{8}$<k<0,
又$\frac{1}{6}$<k<$\frac{1}{2}$,∴無解.
當(dāng)-2<k<0時,$\frac{1}{2k}$-1<0,
∴f(x)在[0,2]上遞減,
∴f(x)min=f(2)=9k-2>3,又-2<k<0,∴無解.
綜上,k∈(3,10).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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