Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x+lnx，其中a＞0．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若a＞1，證明：對(duì)任意x₁，x₂∈（1，+∞）（x₁≠x₂），總有$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|a{x_1}^2-a{x_2}^2|}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論a的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＞x₂＞1，則有f（x₁）＞f（x₂），$a{x_1}^2＞a{x_2}^2$，于是要證$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|a{x_1}^2-a{x_2}^2|}}＜\frac{1}{2}$，即證$f（{x_1}）-\frac{1}{2}a{x_1}^2＜f（{x_2}）-\frac{1}{2}a{x_2}^2$，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明．

解答 解：（ I）∵x∈（0，+∞），$f'（x）=ax-（a+1）+\frac{1}{x}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$或x=1．
①若0＜a＜1，則x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0；$x∈（1，\frac{1}{a}）$時(shí)，f'（x）＜0；$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（1，\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞減．
②若a=1時(shí)，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若a＞1時(shí)，則f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{a}，1）$上單調(diào)遞減．
（ II）由（ I）可知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)x₁＞x₂＞1，則有f（x₁）＞f（x₂），$a{x_1}^2＞a{x_2}^2$，于是要證$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|a{x_1}^2-a{x_2}^2|}}＜\frac{1}{2}$，
即證$f（{x_1}）-f（{x_2}）＜\frac{1}{2}a{x_1}^2-\frac{1}{2}a{x_2}^2$，
即證$f（{x_1}）-\frac{1}{2}a{x_1}^2＜f（{x_2}）-\frac{1}{2}a{x_2}^2$，
令$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}a{x^2}=lnx-（a+x）（x＞1）$，
∵$h'（x）=\frac{1}{x}-（a+1）=\frac{1-（a+1）x}{x}$，
∵（a+1）x＞2，1-（a+1）x＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即有h（x₁）＜h（x₂）．
故對(duì)任意x₁，x₂∈（1，+∞）（x₁≠x₂），總有$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|a{x_1}^2-a{x_2}^2|}}$＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法．