Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²e^ax，x∈R，其中e=2.71828…，常數(shù)a∈R
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)于任意的a＞0都有$f（x）≤{f^'}（x）+\frac{{{x^2}+ax+{a^2}+1}}{a}{e^{ax}}$成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性求得關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)，原不等式x²≤2x+ax²+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$，對(duì)任意a＞0恒成立，整理得：a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$（a＞0），利用基本不等式性質(zhì)，即可求得$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$≤2，即可求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（1）求導(dǎo)，f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x+ax²）e^ax．
當(dāng)a=0時(shí)，若x＜0，則f'（x）＜0，若x＞0，則f'（x）＞0．
∴當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，由2x+ax²＞0，解得x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0，
由2x+ax²＜0，解得-$\frac{2}{a}$＜x＜0．
∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{2}{a}$）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{2}{a}$，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-$\frac{2}{a}$，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-$\frac{2}{a}$．
∴當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-$\frac{2}{a}$）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{2}{a}$，+∞）內(nèi)為減函數(shù)；
綜上可知：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{2}{a}$）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{2}{a}$，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-$\frac{2}{a}$）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{2}{a}$，+∞）內(nèi)為減函數(shù)；
（2）由題意可知：對(duì)任意a＞0，x²e^ax≤2xe^ax+ax²e^ax+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$e^ax恒成立，
即x²≤2x+ax²+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$，對(duì)任意a＞0恒成立，
則（a+$\frac{1}{a}$）（x²+1）≥x²-3x，即a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$（a＞0），
由a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{a}$時(shí)，即a=1時(shí)，取最小值，
則$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$≤2，解得：x≤-2或x≥-1，
綜上可知：x的取值范圍為（-∞，-2]∪[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，基本不等式的性質(zhì)，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．