Question

已知函數f（x）=ln（x+

1

x

），且f（x）在x=

1

2

處的切線方程為y=g（x）
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）證明：當x＞0時，恒有f（x）≥g（x）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數的運算,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到f′（

1

2

），再求出f（

1

2

），然后直接利用直線方程的點斜式得答案；
（2）令t（x）=f（x）-g（x），求出其導函數，然后得到函數的極值點，求得極小值，也就是函數在定義域內的最小值，由最小值等于0得答案．

解答： 解析：（1）∵f（x）=ln（x+

1

x

），
∴f′（x）=

x

x2+1

(1-

1

x2

)=

x2-1

x3+x

，
∴切線斜率k=f′（

1

2

）=-

6

5

．
∴f（x）在x=

1

2

處的切線方程為y-ln

5

2

=-

6

5

(x-

1

2

)，即y=g（x）=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；
（2）證明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln（x+

1

x

）+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

(x＞0)，
故t′(x)=

x2-1

x3+x

+

6

5

=

6x3+5x2+6x-5

5(x3+x)

=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

，
∴當0＜x

1

2

時，t′（x）0．
∴t(x)min=t(

1

2

)=0．
故t（x）≥0．
即當x＞0時，f（x）≥g（x）．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，關鍵是函數的構造，是壓軸題．