Question

14．已知F₁、F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是他們的一個公共點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．

解答 $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$解：設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為a₁，（a＞a₁），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos$\frac{π}{3}$，①
在橢圓中，①化簡為即4c²=4a²-3r₁r₂…②，
在雙曲線中，①化簡為即4c²=4a₁²+r₁r₂…③，
$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
由柯西不等式得（1+$\frac{1}{3}$）（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$）=（$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{\sqrt{3}}{{e}_{2}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$）²
$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{1}{{e}_{2}}≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

點評 本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．