Question

13．某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)．超過200度但不超過400度的部分按0.8 元/度收費(fèi)，超過400度的部分按1.0 元/度收費(fèi)．
（I） 求某戶居民用電費(fèi)用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：度）的函數(shù)解折式；
（II） 為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260 元的占80%，求a，b的值：
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，估計(jì)1月份該市居民用戶平均用電費(fèi)用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）利用（Ⅰ），結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
（Ⅲ）由題意可知x可取50，150，250，350，450，550．結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y=0.5x；
當(dāng)200＜x≤400時(shí)，y=0.5×200+0.8×（x-200）=0.8x-60，
當(dāng)x＞400時(shí)，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x-400）=x-140，
所以y與x之間的函數(shù)解析式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{0.5x，0≤x≤200}\\{0.8x-60，200＜x≤400}\\{x-140，x＞400}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：當(dāng)y=260時(shí)，x=400，則P（x≤400）=0.80，
結(jié)合頻率分布直方圖可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，
∴a=0.0015，b=0.0020．
（Ⅲ）由題意可知x可取50，150，250，350，450，550．
當(dāng)x=50時(shí)，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，
當(dāng)x=150時(shí)，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，
當(dāng)x=250時(shí)，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，
當(dāng)x=350時(shí)，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
當(dāng)x=450時(shí)，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，
當(dāng)x=550時(shí)，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．
故$\overline{y}$=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．
所以，估計(jì)1月份該市居民用戶平均用電費(fèi)用為170.5元

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．