Question

18．已知函數(shù)$f（x）=|\overrightarrow{MP}-x\overrightarrow{MN}|（x∈R）$，其中MN是半徑為4的圓O的一條弦，P為單位圓O上的點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為t，當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t的最大值為3，則線段MN的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，函數(shù)f（x）的最小值化為點(diǎn)P到直線MN的距離，
結(jié)合圖形求出t_max=3時(shí)MN的長(zhǎng)度．

解答 解：設(shè)x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
則函數(shù)f（x）=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|=|$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{AP}$|，其中P為單位圓O上的點(diǎn)，
∵x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
∴點(diǎn)A在直線MN上；
∴函數(shù)f（x）的最小值t為點(diǎn)P到直線MN的距離，
當(dāng)t_max=3時(shí)，如圖所示；

線段MN的長(zhǎng)度為|MN|=2$\sqrt{{4}^{2}{-（3-1）}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量知識(shí)的運(yùn)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．