Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n.已知a₁＝1，，n∈N^*.

(1) 求a₂的值；

(2) 求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(3) 證明：對一切正整數(shù)n，有<.

Answer 1

 (1) 解：∵  ＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^．

∴  當n＝1時，2a₁＝2S₁＝a₂－－1－＝a₂－2.

又a₁＝1，∴  a₂＝4.

(2) 解：∵ 

∴  2S_n＝na_n＋1－n³－n²－n

＝na_n＋1－，①

∴  當n≥2時，2S_n－1＝(n－1)a_n－，②

由①－②，得2S_n－2S_n－1＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)，

∵  2a_n＝2S_n－2S_n－1，

∴  2a_n＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)，

∴  －＝1，

∴  數(shù)列是以首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列．

∴  ＝1＋1×(n－1)＝n，∴  a_n＝n²(n≥2)，

當n＝1時，上式顯然成立．　∴  a_n＝n²，n∈N^*.

(3) 證明：由(2)知，a_n＝n²，n∈N^*，

① 當n＝1時，＝1<，∴  原不等式成立．

② 當n＝2時，＝1＋<，∴  原不等式成立．

③ 當n≥3時，∵  n²>(n－1)·(n＋1)，

∴  ，

∴  ＋＋…＋＝＋＋…＋

<

＝

＝1＋

＝1＋

＝＋<，

∴  當n≥3時，∴  原不等式亦成立．

綜上，對一切正整數(shù)n，有