【題目】如圖所示,橢圓、,為橢圓的左、右頂點.

為橢圓的左焦點,證明:當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時,取得最小值與最大值.

若橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為,求橢圓的標準方程.

若直線中所述橢圓相交于、兩點(不是左、右頂點),且滿足,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.

【答案】見解析;;見解析,.

【解析】

設點的坐標為,令,由點在橢圓上,得,

,代入式子,利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍,求出函數(shù)的最值以及對應的的取值,即可求證;

由已知與,得, ,解得,,再由求出,進而求出橢圓的標準方程;

假設存在滿足條件的直線,設,,聯(lián)立直線方程和橢圓方程進行整理,化簡出一元二次方程,再利用韋達定理列出方程組,根據(jù)題意得,代入列出關于的方程,進行化簡求解.

設點的坐標為,令

由點在橢圓上,得,

,代入,

,

其對稱軸方程為,

由題意,知恒成立,

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時,取得最小值與最大值.

由已知與,得, ,

,

橢圓的標準方程為

如圖所示,設,

聯(lián)立,得,

橢圓的右頂點為,,,

,

,

解得,,且均滿足

時,l的方程為直線過定點,與已知矛盾.

時,l的方程為直線過定點,滿足題意,

直線l過定點,定點坐標為

練習冊系列答案
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【題目】某國營企業(yè)集團公司現(xiàn)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了激化內(nèi)部活力,增強企業(yè)競爭力,集團公司董事會決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結構,調(diào)整出)名員工從事第三產(chǎn)業(yè);調(diào)整后,他們平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.

(Ⅰ)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?

(Ⅱ)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則實數(shù)的取值范圍是多少?

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【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系,某校在高中生中隨機抽取100名學生進行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡數(shù)學

不喜歡數(shù)學

合計

男生

40

女生

30

合計

50

100

1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;

2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡數(shù)學與性別有關?說明你的理由;

3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照是否喜歡數(shù)學進行分層抽樣,現(xiàn)隨機抽取6人,再從6人中抽取3人,求至少有1不喜歡數(shù)學的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.010

0.005

0.001

k

3.841

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中.

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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

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2)求的面積。

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(2),求的通項公式;

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2)求點到平面的距離.

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40歲及以下

40歲以上

合計

基本滿意

15

30

45

很滿意

25

10

35

合計

40

40

80

(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握認為滿意程度與年齡有關?

(2)為了幫助年齡在40歲以下的未購房的8名員工解決實際困難,該企業(yè)擬員工貢獻積分(單位:分)給予相應的住房補貼(單位:元),現(xiàn)有兩種補貼方案,方案甲:;方案乙:.已知這8名員工的貢獻積分為2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補貼的員工記為“類員工”.為了解員工對補貼方案的認可度,現(xiàn)從這8名員工中隨機抽取4名進行面談,求恰好抽到3名“類員工”的概率。

附:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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