Question

18．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過點(diǎn)P（2，-1）的直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t為參數(shù)）與曲線C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）求|PM|²+|PN|²的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t得到曲線C的直角坐標(biāo)方：
（2）將直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，利用直線的參數(shù)方程中t的幾何意義結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）曲線C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x；
直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t為參數(shù)），消去t，可得直線l的普通方程x-y-3=0；
（2）將直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，
∴|PM|²+|PN|²=|t₁|²+|t₂|²=（t₁-t₂）²+2t₁t₂=32．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)的幾何意義．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．