Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（x∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=1，當(dāng)x＞1時，求證：f（x）＞x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為即$a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（Ⅱ）將a=1代入f（x），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知f'（x）=x²-ax+1≥0，
即$a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0時，$\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}≥2$（當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號）
∴a≤2…（5分）
（Ⅱ）a=1時，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
設(shè)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+1$，
則g'（x）=x²-x=x（x-1）
當(dāng)x≥1時，g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞1時，$g（x）＞g（1）=\frac{5}{6}＞0$，
即f（x）＞x-1．       …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．