分析 (1)由拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)為(0,1),則b=1,根據(jù)離心率公式,即可求得a的值,求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓右焦點為$(\sqrt{3},0)$.由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$.若直線AB的斜率不存在,代入不成立,當(dāng)斜率存在,直線AB的方程為$y=k(x-\sqrt{3})$.代入拋物線方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即可求得k的值,求得直線直線l方程.
解答 解:(1)由題意:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,
由拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)為(0,1),
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=1,解得:a=2,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$;
(2)由(1)知a2=4,b2=1,則$c=\sqrt{3}$,
∴橢圓右焦點為$(\sqrt{3},0)$.
∵以AB為直徑的圓過原點,
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$.
若直線AB的斜率不存在,則直線AB的方程為$x=\sqrt{3}$.
直線AB交橢圓于$(\sqrt{3},\frac{1}{2}),(\sqrt{3},-\frac{1}{2})$兩點,$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=3-\frac{1}{4}≠0$,不合題意.
若直線AB的斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線AB的方程為$y=k(x-\sqrt{3})$.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}y=k(x-\sqrt{3})\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$,整理得:$(1+4{k^2}){x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$.
由于直線AB過橢圓右焦點,可知△>0.
由韋達(dá)定理可知:${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$,
${y_1}{y_2}={k^2}({x_1}-\sqrt{3})({x_2}-\sqrt{3})={k^2}[{x_1}{x_2}-\sqrt{3}({x_1}+{x_2})+3]=\frac{{-{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$.
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+(\frac{{-{k^2}}}{{1+4{k^2}}})=\frac{{11{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$.
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$,即$\frac{{11{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}=0$,可得${k^2}=\frac{4}{11},k=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$.
∴直線l方程為$y=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}(x-\sqrt{3})$.
點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 10 | B. | 8 | C. | 4 | D. | 3 |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | log32 | D. | log23 |
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A. | (0,+∞) | B. | (1,+∞) | C. | (e,+∞) | D. | $(\frac{e}{3},+∞)$ |
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