Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+1，x∈[-1，2]．
（1）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求出a的取值范圍．
（2）討論a的取值，判斷f（x）在x∈[0，3]的單調(diào)性，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax+1，的對(duì)稱軸為：x=$\frac{a}{2}$，函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，
可得$\frac{a}{2}≤1$或$\frac{a}{2}≥2$，解得a∈（-∞，2]∪[4，+∞）．
（2）∵二次函數(shù)f（x）=x²-ax+1=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{1}{4}$a²，
且x∈[-1，2]，
∴當(dāng)$\frac{a}{2}$∈[-1，2]時(shí)，即：a∈[-2，4]時(shí)，f（x）在x∈[-1，2]上先減后增，
f（x）的最小值是f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$a²；
當(dāng)$\frac{a}{2}$∈（-∞，-1）即：a∈（-∞，-2）時(shí)，f（x）在[-1，2]上是增函數(shù)，
f（x）的最小值是f（-1）=2+a；
當(dāng)$\frac{a}{2}$∈（2，+∞）即a∈（4，+∞）時(shí)，f（x）在[-1，2]上是減函數(shù)，
f（x）的最小值是f（2）=5-2a；
綜上，a∈[-2，4]時(shí)，f（x）的最小值是1-$\frac{1}{4}$a²；
a∈（-∞，-2）時(shí)，f（x）的最小值是2+a；
a∈（4，+∞）時(shí)，f（x）的最小值是5-2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．