10.已知動點P與兩個頂點M(1,0),N(4,0)的距離的比為$\frac{1}{2}$.
(I)求動點P的軌跡方程;
(II)若點A(-2,-2),B(-2,6),C(-4,2),是否存在點P,使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

分析 (I)利用直接法,求動點P的軌跡方程;
(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36,可得3x2+3y2+16x-12y+32=0,得出公共弦的方程,即可得出結(jié)論.

解答 解:(I)設(shè)P(x,y),則
∵動點P與兩個頂點M(1,0),N(4,0)的距離的比為$\frac{1}{2}$,
∴2$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{(x-4)^{2}+{y}^{2}}$,
∴x2+y2=4,即動點P的軌跡方程是x2+y2=4;
(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36,可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x+4)2+(y-2)2=36,
∴3x2+3y2+16x-12y+32=0,
∵x2+y2=4,
∴4x-3y+11=0,
圓心到直線4x-3y+11=0的距離d=$\frac{11}{5}$>2,
∴直線與圓相離,
∴不存在點P,使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.

點評 本題考查軌跡方程,考查圓與圓的位置關(guān)系,考查點到直線的距離公式,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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