分析 (1)由解析式可求f[f(2)]的值,利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)由(1)知奇函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),任意t∈[1,2],f(t2-2t)+f(k-2t2)<0恒成立?任意t∈[1,2],t2-2t>2t2-k恒成立,分離參數(shù)k,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答 解:(1)f[f(2)]=f(-22)=f(-4)=(-4)2=16.…(1分)
設(shè)x>0,則f(x)=-x2且-x<0,…(2分)
∴f(-x)=x2=-f(x).…(3分)
當(dāng)x<0,同理有f(-x)=-f(x),又f(0)=0,x∈R,
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).…(5分)
(2)∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)f(x)是奇函數(shù),…(6分)
∴函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),…(7分)
∵f(x)是奇函數(shù),∴由f(t2-2t)+f(k-2t2)<0得f(t2-2t)<f(2t2-k),…(8分)
則對(duì)任意t∈[1,2],t2-2t>2t2-k恒成立,…(9分)
即k>t2+2t對(duì)任意t∈[1,2]恒成立,…(10分)
當(dāng)t=2時(shí),t2+2t取最大值8,∴k>8,…(11分)
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(8,+∞).…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)奇偶性的判定,考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | a>2 | B. | 2<a<3 | C. | a<2 | D. | 0<a<2 |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | a>c>b | D. | c>b>a |
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A. | {m|m≥-3} | B. | {m|m≤-3} | C. | {m|m≤2} | D. | {m|m≥2} |
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A. | 60° | B. | 120° | C. | 45° | D. | 90° |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 6 |
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