Question

16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+2y≤4\\ x-2y≤2\end{array}\right.$，如果目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的最大值為$\frac{16}{3}$，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{14}{3}$
• C． 3或$\frac{14}{3}$
• D． 3或$-\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，分類討論代入目標(biāo)函數(shù)求得a值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+2y≤4\\ x-2y≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立方程組分別解得：A（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），B（-2，-2），C（3，$\frac{1}{2}$）．
化目標(biāo)函數(shù)z=x+ay為y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$．
當(dāng)a＞0時，由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$過A或C時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{16}{3}$．
若過A，則$\frac{16}{3}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}a$，解得a=3，符合題意；若過C，則$\frac{16}{3}=3+\frac{a}{2}$，解得a=$\frac{14}{3}$，不合題意；
當(dāng)a＜0時，由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$過B或C時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為$\frac{16}{3}$．
若過B，則$\frac{16}{3}=-2-2a$，解得a=-$\frac{11}{3}$，符合題意；若過C，則$\frac{16}{3}=3+\frac{a}{2}$，解得a=$\frac{14}{3}$，不合題意．
∴a值為3或-$\frac{11}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．