Question

函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），當(dāng)點P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點時，Q（x-2a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式．?
（2）當(dāng)x∈[a+2，a+3]時，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，點P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點時，Q（x-2a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點．求解函數(shù)y=g（x）的解析式可用代入法．
（2）由x∈[a+2，a+3]，及兩對數(shù)函數(shù)有意義可以得到0＜a＜1，由此可以得到對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，由單調(diào)性將恒等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x-2a）²-a²，求出h（x）在定義域[a+2，a+3]上的最大值與最小值，再一次將問題轉(zhuǎn)化為

a≤hmin(x) 1 a ≥hmax(x)

，即得參數(shù)a的不等式組，解之求得參數(shù)的范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上點，令Q（x，y），則

x=x0-2a y=-y0

，
∴

x0=x+2a y0=-y

∴-y=log_a（x+2a-3a），∴y=log_a

1

x-a

（x＞a）
（2）由對數(shù)函數(shù)的定義得

x-3a＞0 x-a＞0

∴x＞3a
∵f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上有意義．
∴3a＜a+2
∴0＜a＜1（6分）
∵|f（x）-g（x）|≤1恒成立|log_a（x-3a）（x-a）|≤1恒成立．

-1≤loga[(x-2a)2-a2]≤1 0＜a＜1

a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

對x∈[a+2，a+3]上恒成立，令h（x）=（x-2a）²-a²
其對稱軸x=2a，2a＜2，2＜a+2
∴當(dāng)x∈[a+2，a+3]
h_min（x）=h（a+2），h_max=h（a+3）
∴原問題等價

a≤hmin(x) 1 a ≥hmax(x)

，即

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

解得0＜a≤

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點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)綜合題，考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求參數(shù)范圍，解決本題關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化關(guān)于參數(shù)的方程或不等式組，恒成立問題求參數(shù)其規(guī)律基本上都是將問題如本題一樣轉(zhuǎn)化，請認(rèn)真體會本解法中問題轉(zhuǎn)化的依據(jù)與轉(zhuǎn)化的方式．