Question

2．若雙曲線$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1$的漸近線方程為$y=±\frac{1}{2}x$，則m的值為（　�。�

• A． -1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． -1或$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分2種情況討論：①、當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上，則有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，解可得m＜1，由雙曲線的漸近線方程可得$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m的值，②、當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上，則有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，解可得m的范圍，同理由雙曲線的漸近線方程解可得m的值；綜合2種情況可得m的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1$，
則分2種情況討論：
①、當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上，則有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，解可得m＜1，
此時漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$x，
又由題意可得：$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得：m=$\frac{1}{3}$，
②、當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上，則有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，解可得m＞3，
此時漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{m-1}}{\sqrt{m-3}}$x，
又由題意可得：$\frac{\sqrt{m-1}}{\sqrt{m-3}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得：m=-1，不合題意，舍去；
綜合可得：m=$\frac{1}{3}$；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意要先分析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．