2.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,AD=AA1=3,BC=1,AB=$\sqrt{3}$,E1為A1B1中點(diǎn).
(1)證明:B1D∥平面AD1E1
(2)求平面ACD1和平面CDD1C1所成角(銳角)的余弦值.

分析 (1)連結(jié)A1D交AD1于G,四邊形ADD1A1為平行四邊形,從而B1D∥E1G,由此能證明B1D∥平面AD1E1;
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD1的一個(gè)法向量和平面CDD1C1的一個(gè)法向量,由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角(銳角)的余弦值.

解答 (1)證明:連結(jié)A1D交AD1于G,
∵ABCD-A1B1C1D1為四棱柱,
∴四邊形ADD1A1為平行四邊形,
∴G為A1D的中點(diǎn),
又E1為A1B1中點(diǎn),∴E1G為△A1B1D的中位線,
從而B1D∥E1G.
又∵B1D?平面AD1E1,E1G?平面AD1E1
∴B1D∥平面AD1E1;
(2)解:∵AA1⊥底面ABCD,AB?面ABCD,AD?面ABCD,
∴AA1⊥AB,AA1⊥AD,又∠BAD=90°,
∴AB,AD,AA1兩兩垂直.
如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=t,則A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),
D(0,3,0),C1(t,1,3),D1(0,3,3).
從而$\overrightarrow{AC}$=(t,1,0),$\overrightarrow{BD}$=(-t,3,0).
∵AC⊥BD,∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-t2+3+0=0,解得t=$\sqrt{3}$.
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(0,3,3),$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0).
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x1,y1,z1)是平面ACD1的一個(gè)法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{3{y}_{1}+3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$,
令x1=1,則$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$).
又$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=(0,0,3),$\overrightarrow{CD}$=(-$\sqrt{3}$,2,0).
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(x2,y2,z2)是平面CDD1C1的一個(gè)法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{z}_{2}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$,
令x2=1,則$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0).
∴cos<$\overrightarrow{{n}_{1}}$,$\overrightarrow{{n}_{2}}$>=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|1×1+\frac{\sqrt{3}}{2}×(-\sqrt{3})+\sqrt{3}×0|}{\sqrt{1+3+3}×\sqrt{1+\frac{3}{4}+0}}=\frac{1}{7}$,
∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角(銳角)的余弦值是$\frac{1}{7}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力,建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵,是難題.

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