Question

17．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F₂（c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為M，延長F₂M交拋物線y²=-4cx于點P，其中O為坐標原點，若$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{O{F_2}}+\overrightarrow{OP}）$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$
• B． $\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 說明M是F₂P的中點．設(shè)拋物線的焦點為F₁，則F₁為（-c，0），也是雙曲線的焦點．畫出圖形，連接PF₁，OM，說明OM為△PF₂F₁的中位線．通過PF₂⊥PF₁，可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}=2b$，設(shè)P（x，y），推出 c-x=2a，利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得 y²+4a²=4b²，然后求解離心率即可．

解答 解：如圖9，∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{O{F_2}}+\overrightarrow{OP}）$，∴M是F₂P的中點．
設(shè)拋物線的焦點為F₁，則F₁為（-c，0），也是雙曲線的焦點．
連接PF₁，OM．∵O、M分別是F₁F₂和PF₂的中點，∴OM為
△PF₂F₁的中位線．∵OM=a，∴|PF₁|=2 a．∵OM⊥PF₂，
∴PF₂⊥PF₁，于是可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}=2b$，設(shè)P（x，y），則 c-x=2a，
于是有x=c-2a，y²=-4c（c-2 a），過點F₂作x軸的垂線，點P到該垂線的距離為2a．
由勾股定理得 y²+4a²=4b²，即-4c（c-2a）+4 a²=4（c²-a²），
變形可得c²-a²=ac，兩邊同除以a²
有 e²-e-1=0，所以e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，負值已經(jīng)舍去．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．