Question

9．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，又f（2）=0，若x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0，則不等式xf（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵x＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=-g（x），
g（x）在（-∞，0）遞增，
∴g（x）是奇函數(shù)，
g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
∴0＜x＜2時(shí)，g（x）＜0，x＞2時(shí)，g（x）＞0，
根據(jù)函數(shù)的奇偶性，-2＜x＜0時(shí)，g（x）＞0，x＜-2時(shí)，g（x）＜0，
xf（x）＜0，即x²g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＜-2或0＜x＜2，
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．