Question

11．無錫市要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計基橫斷面要求面積為$6\sqrt{3}$平方米，且高度不低于$\sqrt{3}$米，記防洪堤橫斷面的腰長為x（米），外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）為y（米）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）當防洪堤的腰長x為多少米時，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最�。�即斷面的外周長最小）？求此時外周長的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：BC=y-2x，AD=y-2x+x=y-x，結(jié)合梯形面積公式，可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進而得到其定義域；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，結(jié)合基本不等式，可得答案．

解答 解：（1）由題意得：BC=y-2x，
AD=y-2x+x=y-x
∴$\frac{1}{2}（BC+AD）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=6\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}（2y-3x）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=6\sqrt{3}$
∴$y=\frac{12}{x}+\frac{3}{2}x$
又$\frac{{\sqrt{3}}}{2}x≥\sqrt{3}$
∴x≥2y-2x＞0，即$\frac{12}{x}+\frac{3}{2}x-2x＞0$，$x＜2\sqrt{6}$
∴$y=\frac{12}{x}+\frac{3}{2}x$，$x∈[{2，2\sqrt{6}}）$
（2）$y=\frac{12}{x}+\frac{3}{2}x≥2\sqrt{12•\frac{3}{2}}=6\sqrt{2}$
當且僅當$\frac{12}{x}=\frac{3}{2}x$$x=2\sqrt{2}$時成立，
∵$x∈[{2\;，\;\;2\sqrt{6}}）$，故$x=2\sqrt{2}$可以取到

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式在求最值時的應(yīng)用，難度中檔．