Question

4．已知命題p：?x∈R，x²+kx+2k+5≥0；命題q：?k∈R，使方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（1）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義求出k的范圍即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出p為真時(shí)的k的范圍，結(jié)合p，q的真假，得到關(guān)于k的不等式組，解出即可．

解答 解：（1））∵方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得：1＜k＜$\frac{5}{2}$，
故q：k∈（1，$\frac{5}{2}$）；
（2）∵?x∈R，x²+kx+2k+5≥0，
∴△=k²-4（2k+5）≤0，解得：-2≤k≤10，
故p為真時(shí)：k∈[-2，10]；
結(jié)合（1）q為真時(shí)：k∈（1，$\frac{5}{2}$）；
若命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，
則p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-2≤k≤10}\\{k≥\frac{5}{2}或k≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＞10或k＜-2}\\{1＜k＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：-2≤k≤1或$\frac{5}{2}$≤k≤10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、考查橢圓的定義以及復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．