Question

16．函數(shù)$f（x）=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，及特殊點，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
即$\frac{-ax+b}{{{x^2}+1}}=-\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$，-ax+b=-ax-b，∴b=0．
∴$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+1}}$，又$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，∴$\frac{{\frac{1}{2}a}}{{\frac{1}{4}+1}}=\frac{2}{5}$，∴a=1，
∴$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$．
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{{x_1}^2+1}}-\frac{x_2}{{{x_2}^2+1}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0，又x₁-x₂＜0，${x_1}^2+1＞0$，${x_2}^2+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的與方程的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．