Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），其部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù) y=f（x）的解析式；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（$\frac{π}{2}$+α）=-$\frac{3}{5}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，由周期公式求出ω，將 （$\frac{7π}{12}$，-1）代入，結合φ范圍可求φ，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）利用誘導公式可求sinα，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosα，利用二倍角公式可求sin2α，cos2α，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）由圖象知 A=1，T=4，（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$）=π，$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（3分）
將 （$\frac{7π}{12}$，-1）代入f（x）=sin（2x+φ），得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-1，…（4分）
因為-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{7π}{6}$+φ＜$\frac{5π}{3}$，
所以$\frac{7π}{6}$+φ=$\frac{3π}{2}$，即φ=$\frac{π}{3}$，…（6分）
所以 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈R． …（7分）
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$\frac{π}{2}+α$）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin$α=\frac{3}{5}$，cos$α=\frac{4}{5}$，…（9分）
∴sin2$α=2sinαcosα=\frac{24}{25}$，cos2α=1-2sin²α=$\frac{7}{25}$，…（11分）
∴f（α）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{24}{25}×\frac{1}{2}$+$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{24}{50}+\frac{7\sqrt{3}}{50}$．…（14分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，�？碱}型，屬于基礎題．