Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|，g（x）=a-|x-2|．
（Ⅰ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為$（b，\frac{7}{2}）$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）=a-|x-2|取最大值為a，f（x）的最小值4，利用關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為$（b，\frac{7}{2}）$，代入相應(yīng)函數(shù)，求出a，b，即可求a+b的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x=2時(shí)，g（x）=a-|x-2|取最大值為a，
∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥4，當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤3，f（x）取最小值4，
∵關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）有解，
∴a＞4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（4，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)$x=\frac{7}{2}$時(shí)，f（x）=5，
則$g（\frac{7}{2}）=-\frac{7}{2}+a+2=5$，解得$a=\frac{13}{2}$，
∴當(dāng)x＜2時(shí)，$g（x）=x+\frac{9}{2}$，
令$g（x）=x+\frac{9}{2}=4$，得$x=-\frac{1}{2}$∈（-1，3），
∴$b=-\frac{1}{2}$，則a+b=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查不等式的解法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．